CAD中的美与乐

我是属于爱折腾的那一类人的。
CAD是我这个专业的必备工具。一天到晚都离不开它。
当然,有时候画图累了,就想开开小差。偶然的一次,我在用CAD的夹点拉伸的时候,竟然发现了一个很有意思的现象。
用过CAD的人基本都知道,一段弧有四个夹点 :弧的两个端点、弧段的中点、弧心。当我们把弧的中间的那个夹点拉到弧心的那个夹点位置后,弧心的那个夹点位置却跑走了,然后我又把弧中间的夹点拉到新的弧心处,当我这样重复下去,我开始以为整个弧会最后定在一个位置,但实际上没有,无论我这样做多少次,弧的位置永远也不会固定。
这个偶然的发现引起了我的注意。我觉得不是一个普通的问题,我感觉它是发散的。QJchen博士用Maple佐证了我的感觉–它的确是发散的!但是,发散的,并不意味这这些夹点的位置是毫无规律的。那么,我就开始折腾了:
首先,我用公式找出它们之间的关系,通过一番简单的数学推理,得到如下图的公式:

zzzf

这个关系看起来比我想象的要简单多了,跟求开平方的公式仅仅相差一个正负号,如此的简洁而美妙的公式。当然这个公式是对于实数集的,我又展开联想了,如果把这个公式扩展到复数集呢,按照这样的迭代,是怎样的效果呢?
很好,那么稍加推理,对某个位置(C_{x},C_{y})的迭代得到如下公式:

(1)    \begin{equation*}  \left\{  \begin{array}{rcl}   X_{n+1} = \frac{X_{n}}{2}-\frac{X_{n}}{2(X_{n}^{2}+Y_{n}^{2})}+C_{x}; &  \\  Y_{n+1} = \frac{Y_{n}}{2}+\frac{Y_{n}}{2(X_{n}^{2}+Y_{n}^{2})}+C_{y}; &   \end{array}   \right.  \end{equation*}

到此,我想到了曼德布罗特的分形集,说做就做,我利用我编写的一段程序,加入了一点代码,然后在CAD上运行,得到了如下的效果:
Highflybird
结果证明了,它果然具有分形的性质。像啥?有的说是蝴蝶,有的说是猴子的脸,究竟像什么,就凭你的想象了。
我把这个图形叫做高飞鸟集。因为我没在其他人中或者其他地方看到过类似的图片。这也算是我的一个发现。
是啊,CAD中竟然蕴藏了这么多的乐趣和美,是我以前从未领略过的。
美是无处不在的,只不过我们还未发觉。

附注:多年前我就想把写下来,直至今日才付诸实现。

2014年8月21日 Highflybird于深圳


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