一个博士朋友的儿子刚上初中不久，他就提出了下面的一个问题，我感觉很有深度，很难得，现在贴出来说说。

如下面图所示：已知线段AB和一点P，n等分线段,得到n+1个点与P连线。

问：n趋于无穷大时，这些连线长的平均值趋向一个定数吗？ 如果是，该怎样求？

粗看起来好像没什么难度，然而稍微计算一下，就发现不那么简单，博士拿出了Maple这个数学软件，用求极限法得到了一个并不简单的结果：

后来，我觉得这个极限可以化为积分，得到了相同的结果：

其中的字母含义如下：

这个结果显然不是初中的知识了。

这个小孩很有天赋，他还把这个问题做引申发散开来。

首先，他问这样的平均距离除了对直线有外，对圆也有么？

我开始用积分算了一下，得到一个巨复杂的结果：

后来稍微优化了一下，

但可以看出，这已经不是可以用初等函数来表达的了，已经用了椭圆积分来表达了。然后，他又继续问了一个问题，在一个三角形内，是否存在这样的一个点，使得点到这三条线段的上述平均值相等？

在我看来，一般情况下存在这个点，原因如下：
因为一点(x,y)到线段的平均值的积分解是一个与x,y有关的二元函数
因此 另   p1p2的 值  设为f1(x,y), p2p3的值设置为f2(x,y),p3p1的值设置为f3(x,y)
显然有  f1(x,y)=f2(x,y); f2(x,y)=f3(x,y)
这是一个二元方程组，应该有一个解，但 估计无法用公式求解，只能数值求解了。

下面贴出一些LISP代码来验证求解。

有兴趣的不妨测试一下。