在下面的这个帖子中讨论了椭圆的曲率和转弯半径
http://bbs.mjtd.com/thread-62980-1-1.html
现在我把这个主题深化一下，讨论一下曲线的两个函数:
vlax-curve-getSecondDeriv
vlax-curve-getFirstDeriv
这两个函数是什么意思呢？
我们考察AutoCAD里面的曲线类，主要是圆，椭圆，弧和样条曲线，多段线由这几种组合而成。
椭圆和样条曲线实际上都是由参数形成，因此，对于这类曲线，它们每点的坐标可以由参数方程表达：
譬如椭圆 x=a*cos(t); y=b*sin(t);
样条曲线也有方程，假设样条曲线的参数方程为： X= f(t);
Y=g(t);
因此可以对参数方程求导，得到每一点的切线矢量，曲线上每一点对应于一个参数 t0 ,
这个切线矢量的 的X值就是 f(t)在t0处的一阶导数，Y值就是g(t)在t0处的一阶导数，
即( f'(t0), g'(t0),0)
因而我们就理解了vlax-curve-getFirstDeriv 函数返回值的意义，
对于vlax-curve-getSecondDeriv的意义类似，只不过这次换成了二阶导数。
即( f''(t0), g''(t0),0)
那么如何求样条曲线或者椭圆的每一点的曲率及其半径呢？
根据参数方程的求曲率公式，若曲线由下面参数方程给出:
\[\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array}\right.\]
那么曲率如何计算?提示:
\[K=\frac{\left|\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)\right|}{\left[\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)\right]^{3 / 2}}\]
下面是求值代码：
;;;=============================================================
;;;功能: 获取椭圆上一点处的曲率和离心半径（适用于单次利用此法）
;;;参数: 椭圆实体和椭圆上的一点
;;;返回: 此处离心圆圆心、离心半径及其曲率（离心率）
;;;说明: 如果要在CAD中几何作图，可以参考此贴：
;;; http://bbs.mjtd.com/thread-62980-1-1.html
;;;=============================================================
(defun ELL:GetCurvature (en pt / obj a b px x y v1 v2 rad cen)
(setq obj (vlax-ename->vla-object en))
(setq a (vla-get-MajorRadius obj)) ;椭圆的半长轴
(setq b (vla-get-MinorRadius obj)) ;椭圆的半短轴
(setq pt (vlax-curve-getclosestpointto en pt)) ;保证此点在椭圆上
(setq px (vlax-curve-getParamAtPoint en pt)) ;此点的椭圆参数
(setq v1 (vlax-curve-getFirstDeriv en px)) ;此点的一阶矢量
(setq v2 (list (- (cadr v1)) (car v1) (caddr v1))) ;此点的切线矢量
(setq x (* a (sin px)))
(setq y (* b (cos px)))
(setq rad (/ (expt (+ (* x x) (* y y)) 1.5) (* a b))) ;得到转弯半径
(setq cen (polar pt (angle '(0 0 0) v2) rad)) ;圆心
(list cen rad) ;圆心及半径
)
;;;=============================================================
;;; 利用参数方程的求椭圆的曲率及其离心半径（适用于多次利用此法）
;;; 功能: 获取椭圆上一点处的转弯半径和离心圆圆心
;;; 参数: 椭圆实体和曲线上的一点
;;; 返回: 此处离心圆圆心、离心半径
;;;=============================================================
(defun ELL:GetCurvature1 (en a b pt / px v1 v2 x y rad cen)
(setq pt (vlax-curve-getclosestpointto en pt)) ;保证此点在椭圆上
(setq px (vlax-curve-getParamAtPoint en pt)) ;此点的椭圆参数
(setq v1 (vlax-curve-getFirstDeriv en px)) ;此点的一阶矢量
(setq v2 (list (- (cadr v1)) (car v1) (caddr v1))) ;此点的切线矢量
(setq x (* a (sin px)))
(setq y (* b (cos px)))
(setq rad (/ (expt (+ (* x x) (* y y)) 1.5) (* a b))) ;得到转弯半径
(setq cen (polar pt (angle '(0 0 0) v2) rad)) ;圆心
(list cen rad) ;圆心及半径
)
;;;=============================================================
;;; 一般平面曲线参数方程的曲率离心公式
;;; 功能: 获取曲线上一点处的离心半径和离心圆圆心
;;; 参数: 曲线实体和曲线上的一点
;;; 返回: 此处离心圆圆心、离心半径
;;;=============================================================
(defun CUR:GetCurvature (en pt / ob px v1 v2 v3 x1 y1 x2 y2 cen rad d1 d2)
(setq ob (vlax-ename->vla-object en))
(setq pt (vlax-curve-getclosestpointto en pt)) ;保证此点在曲线上
(setq px (vlax-curve-getParamAtPoint en pt)) ;此点的曲线参数
(setq v1 (vlax-curve-getFirstDeriv en px)) ;此点的一阶矢量
(setq v2 (vlax-curve-getSecondDeriv en px)) ;此点的二阶矢量
(setq v3 (list (- (cadr v1)) (car v1) (caddr v1))) ;此点的切线矢量
(setq x1 (car v1)) ;一阶导数的 X值
(setq y1 (cadr v1)) ;一阶导数的 Y值
(setq x2 (car v2)) ;二阶导数的 X值
(setq y2 (cadr v2)) ;二阶导数的 Y值
(setq d1 (expt (+ (* y1 y1) (* x1 x1)) 1.5))
(setq d2 (- (* x1 y2) (* x2 y1))) ;转弯内外的判定
(if (/= d2 0) ;如果不为直线段
(progn
(setq rad (/ d1 d2))
(if (vlax-method-applicable-p ob 'GetBulge) ;如果为多段线(含圆弧)
(if (< (vla-GetBulge ob (fix px)) 0) ;如果此段凸度小于0
(setq rad (- rad))
)
)
(list (polar pt (angle '(0 0 0) v3) rad) (abs rad)) ;圆心及半径
)
)
)一些测试代码：
;;;=============================================================
;;;测试程序1: 获取曲线一点处的曲率和离心半径
;;;=============================================================
(defun c:tt1 (/ ent pnt ret)
(setq ent (car (entsel "\n请选取曲线:")))
(while (setq pnt (getpoint "\n点取一点"))
(setq pnt (trans pnt 1 0))
(setq pnt (vlax-curve-getclosestpointto ent pnt))
(setq ret (CUR:GetCurvature ent pnt))
(princ "\n离心半径是:")
(princ ret)
(and ret (apply 'Ent:Make_Circle ret))
)
(princ)
)
;;;=============================================================
;;;测试程序2: 获取椭圆一点处的曲率和离心半径，并比较两种方法
;;;=============================================================
(defun c:tt2 ( / ent obj a b pnt par 1st 2st r1 r2 r3)
(if (and (setq ent (car (entsel "\n请选取椭圆:")))
(setq obj (vlax-ename->vla-object ent))
(vlax-property-available-p obj 'MajorRadius) ;这个地方应该加出错处理
(setq a (vla-get-MajorRadius obj))
(setq b (vla-get-MinorRadius obj))
)
(while (setq pnt (getpoint "\n点取一点:"))
(setq pnt (trans pnt 1 0))
(setq pnt (vlax-curve-getclosestpointto ent pnt))
(setq par (vlax-curve-getparamatpoint ent pnt))
(setq 1st (vlax-curve-getFirstDeriv ent par))
(setq 2st (vlax-curve-getSecondDeriv ent par))
(setq r1 (distance '(0 0) 2st)) ;这个secondDeriv并不意味着半径
(setq r2 (cadr (ELL:GetCurvature1 ent a b pnt)))
(setq r3 (cadr (CUR:getcurvature ent pnt)))
(princ "\nRadius 1 is:")
(princ r1)
(princ "\nRadius 2 is:")
(princ r2)
(princ "\nRadius 3 is:")
(princ r3)
(UTI:Bench
10000
(list
(list 'ELL:GetCurvature1 ent a b pnt)
(list 'CUR:getcurvature ent pnt)
)
)
)
)
)
;;;=============================================================
;;;测试程序3: 动态演示曲线的离心半径
;;;=============================================================
(defun c:tt3 (/ CIR ENT LIN PNT PT0 RET 1ST 2ST CEN PAR PT2 VEC)
(setq ent (car (entsel "\n请选取曲线:")))
(setq cir (Ent:Make_Circle '(0 0 0) 1))
(setq lin (ent:make_Line '(0 0 0) '(0 0 0)))
(setq vec (ent:make_Line '(0 0 0) '(0 0 0)))
(setq lin (vlax-ename->vla-object lin))
(setq vec (vlax-ename->vla-object vec))
(setq cir (vlax-ename->vla-object cir))
(vla-put-color lin 1)
(vla-put-color cir 3)
(vla-put-color vec 6)
(princ "\n按空格或者回车退出!")
(while (= (car (setq pt0 (grread 5 0))) 5)
(setq pnt (trans (cadr pt0) 1 0))
(setq pnt (vlax-curve-getclosestpointto ent pnt))
(setq par (vlax-curve-getparamatpoint ent pnt))
(setq 1st (vlax-curve-getFirstDeriv ent par))
(setq 2st (vlax-curve-getSecondDeriv ent par))
(if (setq ret (CUR:GetCurvature ent pnt))
(progn
(setq pt2 (mapcar '+ pnt 2st))
(setq cen (car ret))
(vlax-put Cir 'Center cen )
(vlax-put cir 'Radius (cadr ret))
(vlax-put lin 'StartPoint cen)
(vlax-put lin 'EndPoint pnt)
(vlax-put vec 'StartPoint pt2)
(vlax-put vec 'EndPoint pnt)
)
)
)
(vla-erase cir)
(vla-erase lin)
(vla-erase vec)
(princ)
)
;;;=============================================================
;;;测试程序4: 由曲线的离心半径描绘其轨迹
;;;=============================================================
(defun c:tt4 (/ ent lst par px1 px2 pxn pnt Inf cen)
(if (setq ent (car (entsel "\n请选取曲线:")))
(progn
(setq px1 (vlax-curve-getStartParam ent))
(setq px2 (vlax-curve-getendparam ent))
(setq pxn (* (- px2 px1) 0.02))
(setq par px1)
(while (<= par px2)
(setq pnt (vlax-curve-getpointatparam ent par))
(setq Inf (CUR:GetCurvature ent pnt))
(if (setq cen (car Inf))
(setq lst (cons cen lst))
)
(setq par (+ par pxn))
)
(setq lst (reverse lst))
(Ent:Make_LWPoly lst 1)
)
)
)相关联代码：
;;;************************************************************;
;;;实体创建部分
;;;************************************************************;
;;;-------------------------------------------------------------
;;;创建一个点
;;;输入: 一个三维或者二维的点
;;;输出: 点实体的图元名
;;;-------------------------------------------------------------
(defun Ent:Make_Point (p)
(entmakex (list '(0 . "POINT") (cons 10 p)))
)
;;;-------------------------------------------------------------
;;;创建一个带颜色的点（此函数为测试或者其他用途）
;;;输入: 一个三维或者二维的点表和一个颜色号
;;;输出: 点实体的图元名
;;;-------------------------------------------------------------
(defun Ent:MakePoint-1 (p c)
(entmakex (list '(0 . "POINT") (cons 10 p) (cons 62 c)))
)
;;;-------------------------------------------------------------
;;;创建一条直线段
;;;输入: 两个三维或者二维的点
;;;输出: 线段实体的图元名
;;;-------------------------------------------------------------
(defun Ent:Make_Line (p q)
(entmakeX (list '(0 . "LINE") (cons 10 p) (cons 11 q)))
)
;;;-------------------------------------------------------------
;;;创建一个由三条直线组成的三角形
;;;输入: 三个三维或者二维的点
;;;输出: 由三条直线组成的三角形
;;;-------------------------------------------------------------
(defun Ent:Make_Triangle (p1 p2 p3)
(mapcar 'Ent:Make_Line (list p1 p2 p3) (list p2 p3 p1))
)
;;;-------------------------------------------------------------
;;;创建一个三维多段线
;;;输入: 三维的点集
;;;输出: 三维多段线实体
;;;-------------------------------------------------------------
(defun Ent:Make_Poly (pts Closed / e)
(if Closed
(setq e (Entmake (list '(0 . "POLYLINE") '(70 . 9))))
(setq e (Entmake (list '(0 . "POLYLINE") '(70 . 8))))
)
(foreach p pts
(entmake (list '(0 . "VERTEX") '(70 . 32) (cons 10 p)))
)
(entmake '((0 . "SEQEND")))
(entlast)
)
;;;-------------------------------------------------------------
;;;创建轻多段线
;;;输入: 二维的点集
;;;输出: 轻多段线实体名
;;;-------------------------------------------------------------
(defun Ent:Make_LWPoly (pts closed /)
(entmakeX
(append
'((0 . "LWPOLYLINE")
(100 . "AcDbEntity")
(100 . "AcDbPolyline")
)
(list (cons 90 (length pts))) ;顶点个数
(mapcar (function (lambda (x) (cons 10 x))) pts) ;多段线顶点
(list (cons 70 closed)) ;闭合的
)
)
)
;;;-------------------------------------------------------------
;;; 创建圆实体
;;; 输入: 圆心C和半径R
;;; 输出: 圆的实体名
;;;-------------------------------------------------------------
(defun Ent:Make_Circle (C R)
(entmakex (list '(0 . "CIRCLE") (cons 10 C) (cons 40 R)))
)程序1效果演示：
程序2效果演示：
