曲线的转弯半径和曲率
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在下面的这个帖子中讨论了椭圆的曲率和转弯半径
http://bbs.mjtd.com/thread-62980-1-1.html
现在我把这个主题深化一下，讨论一下曲线的两个函数:
vlax-curve-getSecondDeriv
vlax-curve-getFirstDeriv
这两个函数是什么意思呢？
我们考察AutoCAD里面的曲线类，主要是圆，椭圆，弧和样条曲线，多段线由这几种组合而成。
椭圆和样条曲线实际上都是由参数形成，因此，对于这类曲线，它们每点的坐标可以由参数方程表达：
譬如椭圆 x=a*cos(t); y=b*sin(t);
样条曲线也有方程，假设样条曲线的参数方程为： X= f(t);
Y=g(t);
因此可以对参数方程求导，得到每一点的切线矢量，曲线上每一点对应于一个参数 t0 ,
这个切线矢量的 的X值就是 f(t)在t0处的一阶导数，Y值就是g(t)在t0处的一阶导数，
即( f'(t0), g'(t0),0)
因而我们就理解了vlax-curve-getFirstDeriv 函数返回值的意义，
对于vlax-curve-getSecondDeriv的意义类似，只不过这次换成了二阶导数。
即( f''(t0), g''(t0),0)
那么如何求样条曲线或者椭圆的每一点的曲率及其半径呢？
根据参数方程的求曲率公式，若曲线由下面参数方程给出:
\[\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array}\right.\]
那么曲率如何计算?提示:
\[K=\frac{\left|\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)\right|}{\left[\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)\right]^{3 / 2}}\]
下面是求值代码：
;;;============================================================= ;;;功能: 获取椭圆上一点处的曲率和离心半径（适用于单次利用此法） ;;;参数: 椭圆实体和椭圆上的一点 ;;;返回: 此处离心圆圆心、离心半径及其曲率（离心率） ;;;说明: 如果要在CAD中几何作图，可以参考此贴： ;;; http://bbs.mjtd.com/thread-62980-1-1.html ;;;============================================================= (defun ELL:GetCurvature (en pt / obj a b px x y v1 v2 rad cen) (setq obj (vlax-ename->vla-object en)) (setq a (vla-get-MajorRadius obj)) ;椭圆的半长轴 (setq b (vla-get-MinorRadius obj)) ;椭圆的半短轴 (setq pt (vlax-curve-getclosestpointto en pt)) ;保证此点在椭圆上 (setq px (vlax-curve-getParamAtPoint en pt)) ;此点的椭圆参数 (setq v1 (vlax-curve-getFirstDeriv en px)) ;此点的一阶矢量 (setq v2 (list (- (cadr v1)) (car v1) (caddr v1))) ;此点的切线矢量 (setq x (* a (sin px))) (setq y (* b (cos px))) (setq rad (/ (expt (+ (* x x) (* y y)) 1.5) (* a b))) ;得到转弯半径 (setq cen (polar pt (angle '(0 0 0) v2) rad)) ;圆心 (list cen rad) ;圆心及半径 ) ;;;============================================================= ;;; 利用参数方程的求椭圆的曲率及其离心半径（适用于多次利用此法） ;;; 功能: 获取椭圆上一点处的转弯半径和离心圆圆心 ;;; 参数: 椭圆实体和曲线上的一点 ;;; 返回: 此处离心圆圆心、离心半径 ;;;============================================================= (defun ELL:GetCurvature1 (en a b pt / px v1 v2 x y rad cen) (setq pt (vlax-curve-getclosestpointto en pt)) ;保证此点在椭圆上 (setq px (vlax-curve-getParamAtPoint en pt)) ;此点的椭圆参数 (setq v1 (vlax-curve-getFirstDeriv en px)) ;此点的一阶矢量 (setq v2 (list (- (cadr v1)) (car v1) (caddr v1))) ;此点的切线矢量 (setq x (* a (sin px))) (setq y (* b (cos px))) (setq rad (/ (expt (+ (* x x) (* y y)) 1.5) (* a b))) ;得到转弯半径 (setq cen (polar pt (angle '(0 0 0) v2) rad)) ;圆心 (list cen rad) ;圆心及半径 ) ;;;============================================================= ;;; 一般平面曲线参数方程的曲率离心公式 ;;; 功能: 获取曲线上一点处的离心半径和离心圆圆心 ;;; 参数: 曲线实体和曲线上的一点 ;;; 返回: 此处离心圆圆心、离心半径 ;;;============================================================= (defun CUR:GetCurvature (en pt / ob px v1 v2 v3 x1 y1 x2 y2 cen rad d1 d2) (setq ob (vlax-ename->vla-object en)) (setq pt (vlax-curve-getclosestpointto en pt)) ;保证此点在曲线上 (setq px (vlax-curve-getParamAtPoint en pt)) ;此点的曲线参数 (setq v1 (vlax-curve-getFirstDeriv en px)) ;此点的一阶矢量 (setq v2 (vlax-curve-getSecondDeriv en px)) ;此点的二阶矢量 (setq v3 (list (- (cadr v1)) (car v1) (caddr v1))) ;此点的切线矢量 (setq x1 (car v1)) ;一阶导数的 X值 (setq y1 (cadr v1)) ;一阶导数的 Y值 (setq x2 (car v2)) ;二阶导数的 X值 (setq y2 (cadr v2)) ;二阶导数的 Y值 (setq d1 (expt (+ (* y1 y1) (* x1 x1)) 1.5)) (setq d2 (- (* x1 y2) (* x2 y1))) ;转弯内外的判定 (if (/= d2 0) ;如果不为直线段 (progn (setq rad (/ d1 d2)) (if (vlax-method-applicable-p ob 'GetBulge) ;如果为多段线(含圆弧) (if (< (vla-GetBulge ob (fix px)) 0) ;如果此段凸度小于0 (setq rad (- rad)) ) ) (list (polar pt (angle '(0 0 0) v3) rad) (abs rad)) ;圆心及半径 ) ) )
一些测试代码：
;;;============================================================= ;;;测试程序1: 获取曲线一点处的曲率和离心半径 ;;;============================================================= (defun c:tt1 (/ ent pnt ret) (setq ent (car (entsel "\n请选取曲线:"))) (while (setq pnt (getpoint "\n点取一点")) (setq pnt (trans pnt 1 0)) (setq pnt (vlax-curve-getclosestpointto ent pnt)) (setq ret (CUR:GetCurvature ent pnt)) (princ "\n离心半径是:") (princ ret) (and ret (apply 'Ent:Make_Circle ret)) ) (princ) ) ;;;============================================================= ;;;测试程序2: 获取椭圆一点处的曲率和离心半径，并比较两种方法 ;;;============================================================= (defun c:tt2 ( / ent obj a b pnt par 1st 2st r1 r2 r3) (if (and (setq ent (car (entsel "\n请选取椭圆:"))) (setq obj (vlax-ename->vla-object ent)) (vlax-property-available-p obj 'MajorRadius) ;这个地方应该加出错处理 (setq a (vla-get-MajorRadius obj)) (setq b (vla-get-MinorRadius obj)) ) (while (setq pnt (getpoint "\n点取一点:")) (setq pnt (trans pnt 1 0)) (setq pnt (vlax-curve-getclosestpointto ent pnt)) (setq par (vlax-curve-getparamatpoint ent pnt)) (setq 1st (vlax-curve-getFirstDeriv ent par)) (setq 2st (vlax-curve-getSecondDeriv ent par)) (setq r1 (distance '(0 0) 2st)) ;这个secondDeriv并不意味着半径 (setq r2 (cadr (ELL:GetCurvature1 ent a b pnt))) (setq r3 (cadr (CUR:getcurvature ent pnt))) (princ "\nRadius 1 is:") (princ r1) (princ "\nRadius 2 is:") (princ r2) (princ "\nRadius 3 is:") (princ r3) (UTI:Bench 10000 (list (list 'ELL:GetCurvature1 ent a b pnt) (list 'CUR:getcurvature ent pnt) ) ) ) ) ) ;;;============================================================= ;;;测试程序3: 动态演示曲线的离心半径 ;;;============================================================= (defun c:tt3 (/ CIR ENT LIN PNT PT0 RET 1ST 2ST CEN PAR PT2 VEC) (setq ent (car (entsel "\n请选取曲线:"))) (setq cir (Ent:Make_Circle '(0 0 0) 1)) (setq lin (ent:make_Line '(0 0 0) '(0 0 0))) (setq vec (ent:make_Line '(0 0 0) '(0 0 0))) (setq lin (vlax-ename->vla-object lin)) (setq vec (vlax-ename->vla-object vec)) (setq cir (vlax-ename->vla-object cir)) (vla-put-color lin 1) (vla-put-color cir 3) (vla-put-color vec 6) (princ "\n按空格或者回车退出!") (while (= (car (setq pt0 (grread 5 0))) 5) (setq pnt (trans (cadr pt0) 1 0)) (setq pnt (vlax-curve-getclosestpointto ent pnt)) (setq par (vlax-curve-getparamatpoint ent pnt)) (setq 1st (vlax-curve-getFirstDeriv ent par)) (setq 2st (vlax-curve-getSecondDeriv ent par)) (if (setq ret (CUR:GetCurvature ent pnt)) (progn (setq pt2 (mapcar '+ pnt 2st)) (setq cen (car ret)) (vlax-put Cir 'Center cen ) (vlax-put cir 'Radius (cadr ret)) (vlax-put lin 'StartPoint cen) (vlax-put lin 'EndPoint pnt) (vlax-put vec 'StartPoint pt2) (vlax-put vec 'EndPoint pnt) ) ) ) (vla-erase cir) (vla-erase lin) (vla-erase vec) (princ) ) ;;;============================================================= ;;;测试程序4: 由曲线的离心半径描绘其轨迹 ;;;============================================================= (defun c:tt4 (/ ent lst par px1 px2 pxn pnt Inf cen) (if (setq ent (car (entsel "\n请选取曲线:"))) (progn (setq px1 (vlax-curve-getStartParam ent)) (setq px2 (vlax-curve-getendparam ent)) (setq pxn (* (- px2 px1) 0.02)) (setq par px1) (while (<= par px2) (setq pnt (vlax-curve-getpointatparam ent par)) (setq Inf (CUR:GetCurvature ent pnt)) (if (setq cen (car Inf)) (setq lst (cons cen lst)) ) (setq par (+ par pxn)) ) (setq lst (reverse lst)) (Ent:Make_LWPoly lst 1) ) ) )
相关联代码：
;;;************************************************************; ;;;实体创建部分 ;;;************************************************************; ;;;------------------------------------------------------------- ;;;创建一个点 ;;;输入: 一个三维或者二维的点 ;;;输出: 点实体的图元名 ;;;------------------------------------------------------------- (defun Ent:Make_Point (p) (entmakex (list '(0 . "POINT") (cons 10 p))) ) ;;;------------------------------------------------------------- ;;;创建一个带颜色的点（此函数为测试或者其他用途） ;;;输入: 一个三维或者二维的点表和一个颜色号 ;;;输出: 点实体的图元名 ;;;------------------------------------------------------------- (defun Ent:MakePoint-1 (p c) (entmakex (list '(0 . "POINT") (cons 10 p) (cons 62 c))) ) ;;;------------------------------------------------------------- ;;;创建一条直线段 ;;;输入: 两个三维或者二维的点 ;;;输出: 线段实体的图元名 ;;;------------------------------------------------------------- (defun Ent:Make_Line (p q) (entmakeX (list '(0 . "LINE") (cons 10 p) (cons 11 q))) ) ;;;------------------------------------------------------------- ;;;创建一个由三条直线组成的三角形 ;;;输入: 三个三维或者二维的点 ;;;输出: 由三条直线组成的三角形 ;;;------------------------------------------------------------- (defun Ent:Make_Triangle (p1 p2 p3) (mapcar 'Ent:Make_Line (list p1 p2 p3) (list p2 p3 p1)) ) ;;;------------------------------------------------------------- ;;;创建一个三维多段线 ;;;输入: 三维的点集 ;;;输出: 三维多段线实体 ;;;------------------------------------------------------------- (defun Ent:Make_Poly (pts Closed / e) (if Closed (setq e (Entmake (list '(0 . "POLYLINE") '(70 . 9)))) (setq e (Entmake (list '(0 . "POLYLINE") '(70 . 8)))) ) (foreach p pts (entmake (list '(0 . "VERTEX") '(70 . 32) (cons 10 p))) ) (entmake '((0 . "SEQEND"))) (entlast) ) ;;;------------------------------------------------------------- ;;;创建轻多段线 ;;;输入: 二维的点集 ;;;输出: 轻多段线实体名 ;;;------------------------------------------------------------- (defun Ent:Make_LWPoly (pts closed /) (entmakeX (append '((0 . "LWPOLYLINE") (100 . "AcDbEntity") (100 . "AcDbPolyline") ) (list (cons 90 (length pts))) ;顶点个数 (mapcar (function (lambda (x) (cons 10 x))) pts) ;多段线顶点 (list (cons 70 closed)) ;闭合的 ) ) ) ;;;------------------------------------------------------------- ;;; 创建圆实体 ;;; 输入: 圆心C和半径R ;;; 输出: 圆的实体名 ;;;------------------------------------------------------------- (defun Ent:Make_Circle (C R) (entmakex (list '(0 . "CIRCLE") (cons 10 C) (cons 40 R))) )
程序1效果演示：
程序2效果演示：
