混沌系统和吸引子

混沌系统是指在一个确定性系统中，存在着貌似随机的不规则运动，其行为表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。按照动力学系统的性质，混沌可以分成四种类型：时间混沌、 空间混沌、时空混沌、功能混沌。

混沌现象是在非线性动力系统中表现的确定性、类随机的过程，这种过程既非周期又不收敛，并且对于初始值具有敏感的依赖性。混沌理论（Chaos theory）是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔（bifurcation）、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。

一维混沌系统

一个一维离散时间非线性动力学系统定义如下：

\[x_{k+1}=\tau\left(x_{k}\right)\]

其中，$x_{k} \in V, \quad \mathrm{k}=0,1,2,3 \ldots$，我们称之为状态。 而$\tau: V \rightarrow V$是一个映射，将当前状态$x_k$映射到下一个状态$x_{k+1}$。如果我们从一个初始值$x_0$开始，反复应用$\tau$， 就得到一个序列:$\left\{x_{k}\right\}, \mathrm{k}=0,1,2,3 \ldots$。这一序列称为该离散时间动力系统的一条轨迹。

Logistic映射

一类非常简单却被广泛研究的动力系统是logistic映射，它起源于虫口模型。其定义有多种形式。

其中一种形式为：

\[ x_{k+1}=\mu x_{k}\left(1-x_{k}\right) \]

其中，混沌域为(0,1)，$0 \leq \mu \leq 4$称为分枝参数，$\mathrm{x_k} \in(0,1)$。

混沌动力系统的研究工作指出，当3.5699456…<μ<=4 时，logistic映射工作于混沌态。也就是说，由初始条件x0在logistic映射的作用下所产生的序列 $\{x_k ; k=0,1,2,3 \ldots . .\}$是非周期的、不收敛的并对初始值非常敏感的。

在μ=4的情况下，即Logistic-Map映射，其所生成序列的概率密度函数PDF(probability density function)：

\[ \rho(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}\quad 0 < x < 1 \\ 0 \quad \text { else } \end{array}\right. \]

表明此系统产生的混沌序列具有遍历性，并且它产生序列的PDF与初始值无关，这为将混沌序列作为密钥置换网络的映射函数提供了理论支持。

Chebyshev映射

Chebyshev 映射，以阶数为参数。k 阶Chebyshev 映射定义如下：

\[ \tau\left(x_{k+1}\right)=\cos \left(n\left(\cos ^{-1} x_{k}\right)\right)\]

其中 $x_k$的定义区间是(-1，1)。

二维混沌系统

一维离散混沌系统，具有形式简单、产生混沌序列时间短等优点，但其缺点是密钥空间太小。用二维超混沌系统生成的混沌序列，变换成加密因子序列。

Lyapunov指数（简称李氏指数），是刻画非线性系统混沌特性的有效方法之一，李氏指数的个数与系统状态空间的维数n相同。如果只有一个李氏指数大于零，则系统是混沌的；若至少有两个李氏指数大于零，则系统是超混沌的。大于零的李氏指数越多，系统不稳定的程度越高。一般来说，系统的状态量个数越多（如高维系统，对离散系统来说，n>2），它可能出现不稳定的程度越高。

形式

不失一般性，二维混沌离散系统有如下形式：

\[ \left\{\begin{array}{l} x_{n+1}=f_{1}\left(x_{n}, y_{n}\right) \\ y_{n+1}=f_{2}\left(x_{n}, y_{n}\right) \end{array}\right. \]

其中

\[ \left\{\begin{array}{l} f_{1}\left(x_{n}, y_{n}\right)=a_{1}+a_{2} x_{n}+a_{3} x_{n}^{2}+a_{4} y_{n}+a_{5} y_{n}^{2}+a_{6} x_{n} y_{n} \\ f_{2}\left(x_{n}, y_{n}\right)=a_{7}+a_{8} x_{n}+a_{9} x_{n}^{2}+a_{10} y_{n}+a_{11} y_{n}^{2}+a_{12} x_{n} y_{n} \end{array}\right. \]

式中$a_i （i=1,2,…12）$式均为待定常系数。

采用高维系统产生超混沌，由于系统比低维情况复杂，产生超混沌时序的时间增长，将有可能直接影响保密通讯实时性的要求。因此，如何在系统状态变量个数尽可能少而正性李氏指数又尽可能多的条件下，寻找到非线性形式简单的系统，是十分实际而又有意义的工作。为了寻找简单形式二维离散超混沌系统，需要进一步简化：

\[ \left\{\begin{array}{l} f_{1}\left(x_{n}, y_{n}\right)=a_{1}+a_{2} x_{n}+a_{3} x_{n}^{2}+a_{4} y_{n}+a_{5} y_{n}^{2}+a_{6} x_{n} y_{n} \\ f_{2}\left(x_{n}, y_{n}\right)=a_{7}+a_{8} x_{n}+a_{9} x_{n}^{2}+a_{10} y_{n}+a_{11} y_{n}^{2}+a_{12} x_{n} y_{n} \end{array}\right.\]

使部分非线性项前面的系数为零，然后通过计算该系统的李氏指数，即有两个或两个以上大于零的李氏指数，可认为该系统是超混沌特性的二维离散系统。

Henon映射

Henon映射已是被广泛应用的一个二维混沌映射，其方程如下：

\[ \left\{\begin{array}{l} x_{n+1}=1+y_{n}-a x_{n}^{2} \\ y_{n+1}=b x_{n}\end{array}\right. \]

当$a \in[1.07,1.4]、b=0.3$时，Henon映射存在混沌吸引子。

洛伦茨吸引子

洛伦茨吸引子是洛伦茨振子（Lorenz oscillator）的长期行为对应的分形结构，以爱德华·诺顿·洛伦茨的姓氏命名。洛伦茨振子是能产生混沌流的三维动力系统，是一种吸引子，以其双纽线形状而著称。映射展示出动力系统（三维系统的三个变量）的状态是如何以一种复杂且不重复的模式，随时间的推移而演变的。

洛伦茨方程

洛伦茨方程是基于纳维－斯托克斯方程、热传导方程和连续性方程简化得出，最初的形式为： ^[3] 

\[ \begin{array}{c} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v} \nabla) \vec{v}=-\frac{\nabla p}{\rho}+\nu \nabla^{2} \vec{v}+\vec{g} \\ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla(\rho \vec{v})=0 \\ \frac{\partial T}{\partial t}+\nabla(T \vec{v})=\chi \nabla^{2} T \\ \rho=\rho_{0}\left(1-\gamma\left(T-T_{0}\right)\right) \end{array} \]

$\vec{v} \longrightarrow$流速，$T\longrightarrow$流体温度，$\mathrm{T}_{0} \longrightarrow$ 上限温度，

$\rho \longrightarrow$ 密度，$P \longrightarrow$压强，$\vec{g} \longrightarrow$ 重力，

$\gamma, \chi, \nu \longrightarrow$依次为热膨胀系数、 热扩散率和动黏滞系数。

简化后的形式称为洛伦茨方程，是决定洛伦茨振子状态的方程为一组常微分方程：

$$ \begin{aligned} \frac{d x}{d t} &=\sigma(y-x) \\ \frac{d y}{d t}=& x(\rho-z)-y \\ \frac{d z}{d t} &=x y-\beta z \end{aligned} $$

含时间参数的形式：

$$ \left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t}=\sigma(y(t)-x(t)) \\ \frac{\mathrm{d} y(t)}{\mathrm{d} t}=\rho x(t)-y(t)-x(t) z(t) \\ \frac{\mathrm{d} z(t)}{\mathrm{d} t}=x(t) y(t)-\beta z(t) \end{array}\right. $$

$\sigma$ 称为普兰特尔数，

$\rho$称为瑞利数。

所有的$\sigma, \rho, \beta>0,$ ，但通常$\sigma=10, \beta=8 / 3, \rho$ 不定。